Question

已知二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且方程f（x）-x=0的兩個(gè)根為：x₁=1，x₂=2．
（1）若方程f（x）-x²=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，求f（x）的解析式；
（2）若a＜0，記f（x）的最大值為g（a），求a•g（a）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，f（x）-x=a（x-1）（x-2），寫出f（x），化簡(jiǎn)方程f（x）=x²，從而可得△=（1-3a）²-4（a-1）2a=0，從而解出a，從而得到f（x）的解析式；
（2）由題意，g（a）=f（-

1-3a

2a

）；ag（a）=a[a•（-

1-3a

2a

）²+（1-3a）（-

1-3a

2a

）+2a]，化簡(jiǎn)求取值范圍．

解答： 解：由題意，f（x）-x=a（x-1）（x-2）；
故f（x）=a（x-1）（x-2）+x=ax²+（1-3a）x+2a；
（1）由方程f（x）=x²有兩個(gè)相等的實(shí)根可得，
△=（1-3a）²-4（a-1）2a=0，
解得，a=-1；
故f（x）=-x²+4x-2；
（2）由題意，g（a）=f（-

1-3a

2a

）；
ag（a）=a[a•（-

1-3a

2a

）²+（1-3a）（-

1-3a

2a

）+2a]
=-

1

4

（a²-6a+1）
=-

1

4

（a-3）²+2，
∵a＜0，
∴-

1

4

（a-3）²+2＜-

1

4

，
故a•g（a）的取值范圍為（-∞，-

1

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．