Question

已知函數(shù)f（x）=x²-lnx-ax，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）＞x，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)求函數(shù)的最值問題，利用求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，然后求極值，再判斷最值；
（Ⅱ）求參數(shù)的取值范圍，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=x²-lnx-x，
f′（x）=

(2x+1)(x-1)

x

．
當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0．
∴f（x）的最小值為f（1）=0．
（Ⅱ）f（x）＞x，即f（x）-x=x²-lnx-（a+1）x＞0．
由于x＞0，所以f（x）＞x?x-

lnx

x

＞a+1．
令g（x）=x-

lnx

x

，
則g′（x）=

x2-1+lnx

x2

．
當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＜0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0．
g（x）有最小值g（1）=1．
故a+1＜1，a的取值范圍是（-∞，0）．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值問題，求參數(shù)的取值范圍經(jīng)常利用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為求最值的問題．