Question

已知向量

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足a²+b²=6abcosC，sin²C=2sinAsinB，求f（C）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間即可確定出f（x）的遞增區(qū)間；
（2）已知第二個等式利用正弦定理化簡，再利用余弦定理表示出cosC，將第一個等式及化簡得到的關(guān)系式代入求出cosC的值，確定出C的度數(shù)，即可求出f（C）的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），
∴f（x）=

m

•

n

+1=

3

sin

x

2

cos

x

2

-cos²

x

2

=

3

2

sinx-

1

2

cosx+

1

2

=sin（x-

π

6

）+

1

2

，
令2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得到2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

（k∈Z），
所以所求增區(qū)間為[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]（k∈Z）；
（2）由a²+b²=6abcosC，由sin²C=2sinAsinB，利用正弦定理化簡得：c²=2ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

6abcosC-2ab

2ab

=3cosC-1，即cosC=

1

2

，
又∵0＜C＜π，∴C=

π

3

，
∴f（C）=f（

π

3

）=sin（

π

3

-

π

6

）+

1

2

=

1

2

+

1

2

=1．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．