Question

4．已知函數(shù)f（x）滿足$f（x）+1=\frac{1}{{f（{x+1}）}}$，當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=x，若方程f（x）-mx-m=0（x∈（-1，1]）有兩個不同實數(shù)根，則實數(shù)m的最大值是（　�。�

• A． $-\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，作出f（x）與y=m（x+1）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象和交點個數(shù)求出m的最大值．

解答 解：當(dāng)x∈（-1，0）時，f（x）=$\frac{1}{f（x+1）}-1$=$\frac{1}{x+1}-1$，
∵方程f（x）-mx-m=0（x∈（-1，1]）有兩個不同實數(shù)根，
∴f（x）與y=m（x+1）在（-1，1]上有兩個交點，
作出f（x）與y=m（x+1）在（-1，1]上的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知當(dāng)直線y=m（x+1）經(jīng)過點（1，1）時，斜率最大，此時m=$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了方程根與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．