Question

6．已知f（x）=|x-1|+a，a∈R，g（x）=|2x-1|．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）+g（x）≤5；
（2）當(dāng)g（x）≤5時(shí)，關(guān)于x的不等式x•[f（x）-a]≤a²-a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，分類討論解關(guān)于x的不等式f（x）+g（x）≤5；
（2）當(dāng)g（x）≤5時(shí)，-2≤x≤3，求出h（x）=x•[f（x）-a]=x|x-1|，利用x的不等式x•[f（x）-a]≤a²-a恒成立，求a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）+g（x）≤5，化為|x-1|+|2x-1|≤3，
x$＜\frac{1}{2}$時(shí)，-x+1-2x+1≤3，∴x≥-$\frac{1}{3}$，∴-$\frac{1}{3}$≤x＜$\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{2}$≤x≤1時(shí)，-x+1+2x-1≤3，∴x≤3，∴$\frac{1}{2}$≤x≤1；
x＞1時(shí)，x-1+2x-1≤3，∴x≤$\frac{5}{3}$，∴1＜x≤$\frac{5}{3}$．
綜上所述，-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{5}{3}$．
（2）當(dāng)g（x）≤5時(shí)，-2≤x≤3
h（x）=x•[f（x）-a]=x|x-1|，
-2≤x≤1時(shí)，h（x）=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，x=$\frac{1}{2}$時(shí)，h（x）_max=$\frac{1}{4}$；
1＜x≤3時(shí)，h（x）=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，x=3時(shí)，h（x）_max=6；
∴h（x）的最大值為6，
∵關(guān)于x的不等式x•[f（x）-a]≤a²-a恒成立，
∴a²-a≥6，
∴a≤-2或a≥3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．