Question

11．已知f（x）=ax+1，g（x）=e^x-aex，若關于x的不等式f（x）•g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． [-1，1]
• B． [0，1]
• C． [0，e）
• D． [0，e]

Answer 1

分析 對a討論，a=0，顯然成立；a＞0，只要e^x-aex≥0，即有ae≤$\frac{{e}^{x}}{x}$的最小值，運用導數(shù)判斷單調性，可得最小值；a＜0，只要ax+1≥0恒成立，由一次函數(shù)的單調性可得．求并集即可得到所求范圍．

解答 解：由f（x）•g（x）≥0等價為不等式（ax+1）（e^x-aex）≥0，
當a=0時，即為e^x＞0顯然成立；
當a＞0時，x＞0，ax+1＞0，只要e^x-aex≥0，
即有ae≤$\frac{{e}^{x}}{x}$的最小值，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有x=1處取得最小值，且為e，
則ae≤e，解得0＜a≤1；
當a＜0時，x＞0，e^x-aex＞0，
只要ax+1≥0恒成立，由于ax+1≤1，
則a＜0不恒成立．
綜上可得a的范圍是[0，1]．
故選：B．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論的思想方法，同時考查函數(shù)的最值的求法，運用導數(shù)判斷單調性，屬于中檔題．