Question

1．（1）求直線$ρ=\frac{1}{acosθ+bsinθ}$與圓ρ=2ccosθ（c＞0）相切的條件；
（2）求曲線θ=0，$θ=\frac{π}{3}（{ρ≥0}）$和ρ=4所圍成圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）直線$ρ=\frac{1}{acosθ+bsinθ}$，化為ax+by=1，圓ρ=2ccosθ（c＞0）化為ρ²=2cρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐標(biāo)方程．利用直線與圓相切的充要條件、點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．
（2）曲線θ=0，$θ=\frac{π}{3}（{ρ≥0}）$和ρ=4所圍成圖形是如圖所示的扇形．利用扇形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）直線$ρ=\frac{1}{acosθ+bsinθ}$，化為ax+by=1，圓ρ=2ccosθ（c＞0）化為ρ²=2cρcosθ，
化為x²+y²=2cx，配方為：（x-c）²+y²=c²．可得圓心（c，0），半徑r=c．
∵直線與圓相切，
∴$\frac{|ac-1|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=c，化為b²c²+2ac=1．
（2）曲線θ=0，$θ=\frac{π}{3}（{ρ≥0}）$和ρ=4所圍成圖形是如圖所示的扇形．
∴$S=\frac{1}{2}×{4}^{2}×\frac{π}{3}$=$\frac{8π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓的極坐標(biāo)方程、直線的極坐標(biāo)方程、直線與圓相切的充要條件、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．