Question

已知圓心為O的圓內(nèi)有一條弦BC，其長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)為A，在圓上運(yùn)動(dòng)，且∠BAC=45°，若∠ABC為銳角，則

OA

•

BC

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：首先建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)直角坐標(biāo)系確定各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化成利用定義域求三角函數(shù)的值域．

解答： 解：如圖所示：|BC|=2，∠BOC=90°，∠CAB=45°，
由于∠B為銳角，則：點(diǎn)A只能在左半圓上，
故設(shè)：A（

2

cosθ，

2

sinθ）（

π

2

＜θ＜

3π

2

）
B（

2

，0），C（0，

2

），

OA

=（

2

cosθ，

2

sinθ），

BC

=（-

2

，

2

），
所以：

OA

•

BC

=-2cosθ+2sinθ=2

2

sin（θ-

π

4

）
由于

π

2

＜θ＜

3π

2

，
所以：-

2

2

＜sin（θ-

π

4

）≤1，
則：-2＜

OA

•

BC

≤2

2

．
故答案為：（-2，2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的恒等變換，利用正弦型函數(shù)的定義域求值域．