Question

18．當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，下列不等式中不恒成立的是（　�。�

• A． $\sqrt{{x}^{2}+5}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+5}}$≥2
• B． x³+x+1≥e^x
• C． ln（x+1）≤x
• D． 1-$\frac{1}{2}$x²≤cosx

Answer 1

分析 作為選擇題可由于排除法，對(duì)于A，令t=$\sqrt{{x}^{2}+5}$≥$\sqrt{5}$，由對(duì)號(hào)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷；
對(duì)于B，設(shè)f（x）=ln（1+x）-x，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到結(jié)論；
對(duì)于D，令y=1-cosx-$\frac{1}{2}$x²，x≥0，求出導(dǎo)數(shù)，再由sinx-x的符號(hào)，即可得到結(jié)論．

解答 解：可運(yùn)用排除法．
對(duì)于A．令t=$\sqrt{{x}^{2}+5}$≥$\sqrt{5}$，則不等式的右邊為t+$\frac{1}{t}$在[$\sqrt{5}$，+∞）遞減，即有t+$\frac{1}{t}$≥$\frac{6\sqrt{5}}{5}$＞2成立；
對(duì)于C，設(shè)f（x）=ln（1+x）-x，f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1=$\frac{-x}{1+x}$≤0恒成立，f（x）在[0，+∞）遞減，
即有f（x）≤f（0）=0，則C恒成立；
對(duì)于D，令y=1-cosx-$\frac{1}{2}$x²，x≥0，y′=sinx-x，由sinx-x的導(dǎo)數(shù)為cosx-1≤0，
則sinx-x≤0，即有函數(shù)y在[0，+∞）遞減，則有y≤0，則D恒成立．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查運(yùn)算和判斷能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．