Question

6．正四面體A-BCD，M是棱AB的中點，則CM與面BCD所成的角的正弦值是$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 在正四面體ABCD中，過A作AO⊥平面BCD于點O，則O為底面正三角形BCD的外心，連接BO，過M作MF∥AO，交OD于F，則∠MCF=α，就是CM與平面BCD所成角，解直角三角形CMF即可．

解答 解：設正四面體ABCD的邊長為a，高為AO
則O為底面正三角形BCD的外心，過M作MF∥AO，交OD于F，
則MF⊥平面BCD，
則設∠MCF=α，即為CM與平面BCD所成角，
在Rt△ABO中，則BO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，MF=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{\sqrt{6}}{6}$a，
∴sinα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點評 考查直線和平面所成的角，關鍵是找到斜線在平面內的射影，把空間角轉化為平面角求解，屬中檔題．