6．正四面體A-BCD，M是棱AB的中點(diǎn)，則CM與面BCD所成的角的正弦值是$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

分析 在正四面體ABCD中，過A作AO⊥平面BCD于點(diǎn)O，則O為底面正三角形BCD的外心，連接BO，過M作MF∥AO，交OD于F，則∠MCF=α，就是CM與平面BCD所成角，解直角三角形CMF即可．

解答 解：設(shè)正四面體ABCD的邊長為a，高為AO
則O為底面正三角形BCD的外心，過M作MF∥AO，交OD于F，
則MF⊥平面BCD，
則設(shè)∠MCF=α，即為CM與平面BCD所成角，
在Rt△ABO中，則BO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，MF=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{\sqrt{6}}{6}$a，
∴sinα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評 考查直線和平面所成的角，關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，把空間角轉(zhuǎn)化為平面角求解，屬中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

6．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=2AB=2，若E，F(xiàn)分別為線段A1D1，CC1的中點(diǎn)，則直線EF與平面ADD1A1所成角的正弦值為（　�。�
A．$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$B．$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$C．$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$D．$\frac{1}{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．已知橢圓C的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，長軸在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)$（1，\frac{3}{2}）$．C上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知M，N是橢圓上的兩點(diǎn)，且OM⊥ON，求證：$\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{ON}|}^2}}}$為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

4．一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，0），（1，1，1），則該四面體的外接球的體積為$\frac{\sqrt{3}}{2}π$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且PA⊥BD，∠BAD=60°，AB=2
（1）證明：PD=PB；
（2）當(dāng)PD⊥PB，二面角A-PB-C的余弦值為$\frac{-5}{7}$時(shí)，求此錐體的高？
（3）在條件（2）下，研究在線段PB上是否存在點(diǎn)M，使得異面直線PA與DM成角的余弦值等于$\frac{\sqrt{26}}{52}$，并說明理由．

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11．如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=$\frac{1}{2}$
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）求證：平面SAB⊥平面SBC；
（3）求直線SC與底面ABCD所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18．如圖，正四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)都在同一球面上，已知ABCD中心為E，球心O在線段PE上，QA⊥底面ABCD，且與球面交于點(diǎn)Q，若球的半徑為2．
（Ⅰ）若OE=1，求二面角B-PQ-D的平面角的余弦值；
（Ⅱ）若△QBD是等邊三角形，求四棱錐P-ABCD和Q-ABCD公共部分的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AE-C的正切值；
（Ⅲ）求直線EC與平面ABCD所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

16．在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，CD=5，AB=12，則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=-11．

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