Question

15．如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AE-C的正切值；
（Ⅲ）求直線EC與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由線面垂直得到線線垂直，再由二面角的平面角是直角得到線線垂直，再由線面垂直的判定得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知角BEC就是二面角B-AE-C的平面角，然后通過解直角三角形得答案；
（Ⅲ）取AB的中點(diǎn)O，連接EO，CO，則可證明角ECO就是直線EC與平面ABCD所成角．然后通過解直角三角形得答案．

解答 （Ⅰ）證明：∵BF⊥平面ACE．∴BF⊥AE．
∵二面角D-AB-E為直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE．
∴CB⊥AE．
則AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知角BEC就是二面角B-AE-C的平面角，
由AE⊥平面BCE，得AE⊥BE，
又AE=EB，AB=2，∴BE=$\sqrt{2}$，
則$tan∠BEC=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$；
（Ⅲ）解：取AB的中點(diǎn)O，連接EO，CO，
∵AE=EB，∴EO⊥AB，
則EO⊥平面ABCD，
∴角ECO就是直線EC與平面ABCD所成角．
EO=1，CO=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{1}}=\sqrt{5}$．
∴$tan∠ECO=\frac{EO}{CO}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角及二面角的求法，考查空間直線和平面的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．