Question

7．已知橢圓C的中心是坐標(biāo)原點O，長軸在x軸上，且經(jīng)過點$（1，\frac{3}{2}）$．C上任意一點到兩個焦點的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知M，N是橢圓上的兩點，且OM⊥ON，求證：$\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{ON}|}^2}}}$為定值．

Answer 1

分析 （I）由題意可設(shè)橢圓的坐標(biāo)方程，由題意可得2a=4，求出b²．即可得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）當(dāng)OM與ON的斜率都存在時，設(shè)直線OM的方程為y=kx（k≠0），則直線ON的方程為y=-$\frac{1}{k}$x（k≠0），P（x，y）．直線OM的方程y=kx與橢圓的方程聯(lián)立，求出|OM|²，同理可得|ON|²，然后化簡得到結(jié)果．當(dāng)直線OM或ON的斜率一個為0而另一個不存在時，上式也成立．

解答 （I）解：由題意可設(shè)橢圓的坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）．
∵橢圓C上一點到兩個焦點的距離之和為4．可得a=2，經(jīng)過點$（1，\frac{3}{2}）$．
∴$\frac{{1}^{2}}{4}+\frac{{（\frac{3}{2}）}^{2}}{^{2}}=1$，2a=4，解得b²=3．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）證明：當(dāng)OP與OQ的斜率都存在時，設(shè)直線OP的方程為y=kx（k≠0），
則直線OQ的方程為y=-$\frac{1}{k}$x（k≠0），P（x，y）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\end{array}\right.$，化為x²=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|OM|²=x²+y²=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，同理以$-\frac{1}{k}$代替k可得|ON|²=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{|OM|}^{2}}+\frac{1}{{|ON|}^{2}}$=$\frac{3+4{k}^{2}}{12（1+{k}^{2}）}+\frac{4+3{k}^{2}}{12（1+{k}^{2}）}$=$\frac{7}{12}$為定值．
當(dāng)直線OM或ON的斜率一個為0而另一個不存在時，上式也成立．
因此$\frac{1}{{|OM|}^{2}}+\frac{1}{{|ON|}^{2}}$為定值．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得交點坐標(biāo)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題