Question

11．已知f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據一元二次不等式與對應方程的關系，利用根與系數的關系求出b、c的值即可；
（2）不等式f（x）+t≤2恒成立，轉化為t≤-2x²+2x+2恒成立，求出g（x）=-2x²+2x+2在x∈[-1，1]的最小值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2x²+bx+c，且不等式f（x）＜0的解集是（0，1），
∴方程2x²+bx+c=0的兩個實數根為0和1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0+1=-\frac{2}}\\{0×1=\frac{c}{2}}\end{array}\right.$，
解得b=-2，c=0，
∴f（x）=2x²-2x；
（2）對于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，
即2x²-2x+t≤2恒成立，
∴t≤-2x²+2x+2；
設g（x）=-2x²+2x+2，x∈[-1，1]，
∴g（x）=-2${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{5}{2}$，
當x=-1時，g（x）取得最小值為-2×（-1）²+2×（-1）+2=-2，
∴實數t的取值范圍是t≤-2．

點評 本題考查了一元二次不等式與對應方程的關系，也考查了不等式恒成立的問題，考查了轉化思想的應用問題，是基礎題目．