【題目】設(shè)a>0, 是R上的偶函數(shù).
(1)求a的值;
(2)證明:f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

【答案】
(1)解:∵a>0, 是R上的偶函數(shù).

∴f(﹣x)=f(x),即 + = ,

+a2x= + ,

2x(a﹣ )﹣ (a﹣ )=0,

∴(a﹣ )(2x+ )=0,∵2x+ >0,a>0,

∴a﹣ =0,解得a=1,或a=﹣1(舍去),

∴a=1;


(2)證明:由(1)可知

∵x>0,

∴22x>1,

∴f'(x)>0,

∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增


【解析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)f(﹣x)=f(x),代入即可求出a的值;(2)由(1)求出了f(x)的解析式,對(duì)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),證明其導(dǎo)數(shù)大于0即可;
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個(gè)為偶就為偶,兩個(gè)為奇才為奇才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】解答題
(1)設(shè)p:實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足(x﹣3a)(x﹣a)<0,其中a>0,q:實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足 ,若p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)命題p:“函數(shù) 無(wú)極值”;命題q:“方程 表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”,若p或q為真命題,p且q為假命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù) 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(Ⅰ)討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知圓經(jīng)過(guò)、,圓心在直線(xiàn)上,過(guò)點(diǎn),且斜率為的直線(xiàn)交圓相交于、兩點(diǎn).

(Ⅰ)求圓的方程;

(Ⅱ)(i)請(qǐng)問(wèn)是否為定值.若是,請(qǐng)求出該定值,若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(ii)若為坐標(biāo)原點(diǎn),且,求直線(xiàn)的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知點(diǎn),點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn),設(shè)為該圓的圓心,并且線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn).

(1)求點(diǎn)的軌跡方程;

(2)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ,點(diǎn)是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線(xiàn)分別交(1)中點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn)(四點(diǎn)互不相同),證明:直線(xiàn)恒過(guò)一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四棱臺(tái)中,底面為平行四邊形, 上的點(diǎn).且.

(1)求證: ;

(2)若的中點(diǎn), 為棱上的點(diǎn),且與平面所成角的正弦值為,試求的長(zhǎng).

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【題目】直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)軸負(fù)半軸交于點(diǎn),直線(xiàn)相切于, 上任意一點(diǎn), 上的射影, 的中點(diǎn).

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;

(Ⅱ)軌跡軸交于,點(diǎn)為曲線(xiàn)上的點(diǎn),且, ,試探究三角形的面積是否為定值,若為定值,求出該值;若非定值,求其取值范圍.

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【題目】共享單車(chē)入住泉州一周年以來(lái),因其“綠色出行,低碳環(huán)!钡睦砟疃鴤涫苋藗兊南矏(ài),值此周年之際,某機(jī)構(gòu)為了了解共享單車(chē)使用者的年齡段,使用頻率、滿(mǎn)意度等三個(gè)方面的信息,在全市范圍內(nèi)發(fā)放份調(diào)查問(wèn)卷,回收到有效問(wèn)卷份,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取份,分別對(duì)使用者的年齡段、~歲使用者的使用頻率、~歲使用者的滿(mǎn)意度進(jìn)行匯總,得到如下三個(gè)表格:

(Ⅰ)依據(jù)上述表格完成下列三個(gè)統(tǒng)計(jì)圖形:

(Ⅱ)某城區(qū)現(xiàn)有常住人口萬(wàn),請(qǐng)用樣本估計(jì)總體的思想,試估計(jì)年齡在歲~歲之間,每月使用共享單車(chē)在~次的人數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)= sinx+cosx.
(1)求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=f(x)cosx,x∈[0, ],求g(x)的值域.

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