Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+e^-x．
（1）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（2）若e^t[f（2t）+2]+mf（t）≥0對(duì)于t∈[0，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=[f（x）-e^-x-a]²+[f（x）-e^x-a]²（0＜a＜2），求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x），分別令f′（x）＞0，令f′（x）＜0，解得x即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）代入分離參數(shù)，利用函數(shù)y=-e^2x-1的單調(diào)性即可得出；
（3）函數(shù)g（x）=（e^x+e^-x）²-2a（e^x+e^-x）+2a²-2．通過換元令s=e^x+e^-x≥2，則g（x）=h（s）=s²-2as+2a²-2=（s-a）²+a²-2．
由于s≥2，0＜a＜2．利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出h（s）≥h（2）．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x-e^-x=

(ex+1)(ex-1)

ex

，
令f′（x）＞0，解得x＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得x＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
（2）e^t[f（2t）+2]+mf（t）=e^t（e^2t+e^-2t+2）+m（e^t+e^-t）
=e^t（e^t+e^-t）²+m（e^t+e^-t）=（e^t+e^-t）（e^2t+1+m）≥0對(duì)于t∈[0，1]恒成立，
∴m≤（-e^2t-1）_min，t∈[0，1]．而（-e^2t-1）_min=-e²-1．∴m≤-e²-1．
（3）函數(shù)g（x）=[f（x）-e^-x-a]²+[f（x）-e^x-a]²=（e^x-a）²+（e^-x-a）²=e^2x+e^-2x-2a（e^x+e^-x）+2a²=（e^x+e^-x）²-2a（e^x+e^-x）+2a²-2．
令s=e^x+e^-x≥2，則g（x）=h（s）=s²-2as+2a²-2=（s-a）²+a²-2．
∵s≥2，0＜a＜2．
∴h（s）在[2，+∞）單調(diào)遞增，∴h（s）≥h（2）=2²-4a+2a²-2=2a²-4a+2．
即h（s）_min=2a²-4a+2．亦即函數(shù)g（x）的最小值為2a²-4a+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了換元法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．