Question

17．設函數(shù)f（x）=e^x+a+x，g（x）=ln（x+3）-4e^-x-a，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實數(shù)x₀，使得f（x₀）-g（x₀）=2成立，則實數(shù)a值為（　�。�

• A． -2+ln2
• B． 1+ln2
• C． -1-ln2
• D． 2+ln2

Answer 1

分析 令f（x）-g（x）=x+e^x+a-1n（x+3）+4e^-a-x，運用導數(shù)求出y=x-ln（x+3）的最小值；運用基本不等式可得e^x+a+4e^-a-x≥4，從而可證明f（x）-g（x）≥2，由等號成立的條件，從而解得a．

解答 解：令f（x）-g（x）=x+e^x+a-1n（x+3）+4e^-a-x，
令y=x-ln（x+3），y′=1-$\frac{1}{x+3}$=$\frac{x+2}{x+3}$，
故y=x-ln（x+3）在（-3，-2）上是減函數(shù)，（-2，+∞）上是增函數(shù)，
故當x=-2時，y有最小值-2-0=-2，
而e^x+a+4e^-a-x≥4（當且僅當e^x+a=4e^-a-x，即x=-a+ln2時，等號成立）；
故f（x）-g（x）≥2（當且僅當?shù)忍柾瑫r成立時，等號成立）；
故x=-a+ln2=-2，
即a=2+ln2．
故選：D．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及基本不等式的應用，同時考查了方程的根與函數(shù)的零點的關系應用，屬于中檔題．