Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（I）當時,求函數(shù)的圖象在點A（0，)處的切線方程；
（II）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使當時恒成立？若存在，求出實數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解（I）．   
（II）在，為增函數(shù)，在為減函數(shù)。
（Ⅲ）符合條件的實數(shù)不存在.  

本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
（1）運用了導數(shù)的幾何意義求解曲線的切線方程問題。
（2）利用導數(shù)的運算，和導數(shù)與不等式的關(guān)系，求解得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
（3）對于不等式的恒成立問題可以轉(zhuǎn)化為求解新函數(shù)的最值問題，來得到參數(shù)的取值范圍的求解的這樣的數(shù)學思想的運用。
解（I）時,,

于是,,
所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為
即．              ………………………… ……………… 2分
（II）
=，
∵，∴ 只需討論的符號．        ……………… 4分
ⅰ）當＞2時，＞0，這時＞0，所以函數(shù)在（－∞，+∞）上為增函數(shù)．
ⅱ）當= 2時，≥0，函數(shù)在（－∞，+∞）上為增函數(shù)．
……………… 6分
ⅲ）當0＜＜2時，令= 0，解得，．
當變化時，和的變化情況如下表：

	+	0	－	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴在，為增函數(shù)，在為
減函數(shù)……………… 8分
（Ⅲ）當∈（1，2）時，∈（0，1）．由（2）知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故當∈（0，1）時，，所以當∈（0，1）時恒成立，等價于恒成立．……10分
當∈（1，2）時，，設，則，表明g(t) 在（0，1）上單調(diào)遞減，于是可得，即∈（1，2）時恒成立，因此，符合條件的實數(shù)不存在.    ……………… 12分