Question

15．設(shè)函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|x|，x≤\frac{m}{2}\\{x^2}-2mx+4m，x＞\frac{m}{2}\end{array}\right.（{m∈R}）$，若存在實(shí)數(shù)t，使得函數(shù)y=f（x）-t有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則m的取值范圍為（$\frac{7}{2}，\frac{16}{3}$）．

Answer 1

分析 分m≤0和m＞0分別畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，把函數(shù)y=f（x）-t有4個(gè)不同的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的圖象與y=t有4個(gè)不同交點(diǎn)列關(guān)于m的不等式組求解．

解答 解：當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|x|，x≤\frac{m}{2}\\{x^2}-2mx+4m，x＞\frac{m}{2}\end{array}\right.（{m∈R}）$的圖象如圖：

不滿足題意；
當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|x|，x≤\frac{m}{2}\\{x^2}-2mx+4m，x＞\frac{m}{2}\end{array}\right.（{m∈R}）$的圖象如圖：

要使函數(shù)y=f（x）-t有4個(gè)不同的零點(diǎn)，
則函數(shù)y=f（x）的圖象與y=t有4個(gè)不同交點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m-\frac{3}{4}{m}^{2}＞0}\\{4m-{m}^{2}＜\frac{m}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{7}{2}＜m＜\frac{16}{3}$．
∴m的取值范圍為：（$\frac{7}{2}，\frac{16}{3}$）．
故答案為：（$\frac{7}{2}，\frac{16}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性與根的個(gè)數(shù)判斷，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，正確畫出函數(shù)圖象是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．