Question

10．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E為正方形ABCD的兩條對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)F是棱AB的中點(diǎn)，則異面直線AC₁與EF所成角的正切值為（　　）

• A． -$\sqrt{2}$
• B． -$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 推導(dǎo)出EF∥AD，從而∠DAC₁是異面直線AC₁與EF所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線AC₁與EF所成角的正切值．

解答 解：∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E為正方形ABCD的兩條對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)F是棱AB的中點(diǎn)，
∴EF∥AD，
∴∠DAC₁是異面直線AC₁與EF所成角（或所成角的補(bǔ)角），
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為a，
則DC₁=$\sqrt{2}a$，AD=a，
∴tan∠DAC₁=$\frac{D{C}_{1}}{DA}$=$\frac{\sqrt{2}a}{a}$=$\sqrt{2}$．
∴異面直線AC₁與EF所成角的正切值為$\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．