Question

6．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且b²=a²+（c-$\sqrt{3}$a）c．
（1）求角B的大��；
（2）設(shè)b²-4bcos（A-C）+4=0，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)已知等式可得$\sqrt{3}ac$=a²+c²-b²，利用余弦定理可得cosB，即可得解B的值．
（2）由題意△=-16sin²（A-C）≥0，進(jìn)而可得A=C，解得b=2，結(jié)合已知可求a²，利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本題滿分為15分）
解：（1）∵b²=a²+（c-$\sqrt{3}$a）c，即$\sqrt{3}ac$=a²+c²-b²，
∴由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B=30°…（6分）
（2）∵△=16cos²（A-C）-16=-16sin²（A-C）≥0，
∴sin²（A-C）=0，可得sin（A-C）=0，
∴A-C=kπ，k∈Z，
∵A∈（0，π），C∈（0，π），可得：A-C∈（-π，π），
∴A-C=0，得A=C，可得：a=c，
∴b²-4b+4=0，解得：b=2．
故2²=2a²-2a²cos30°，得a²=$\frac{4}{2-\sqrt{3}}$=8$+4\sqrt{3}$，
故S=$\frac{1}{2}$a²sin30°=2$+\sqrt{3}$．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．