Question

12．已知矩陣M=$（\begin{array}{l}{a}&{1}\\{0}&\end{array}）$（a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2，b=3時，求矩陣M的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量；
（Ⅱ）當(dāng)a=b時，曲線C：x²-y²=1在矩陣M的對應(yīng)變換作用下得到曲線C′：x²-2xy-1=0，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過令特征多項式f（λ）=（λ-2）（λ-3）=0，得λ=2或λ=3，進而可得結(jié)論；
（Ⅱ）利用$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{0}&\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，并將變換公式代入曲線C′：x²-2xy-1=0，計算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a=2，b=3，∴M=$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{0}&{3}\end{array}]$，
令f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-2}&{-1}\\{0}&{λ-3}\end{array}|$=（λ-2）（λ-3）=0，
得λ=2或λ=3，
當(dāng)λ=2時，由$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{0}&{3}\end{array}]$$\overrightarrow{{ξ}_{1}}$=2$\overrightarrow{{ξ}_{1}}$，得$\overrightarrow{{ξ}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$，
當(dāng)λ=3時，由$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{0}&{3}\end{array}]$$\overrightarrow{{ξ}_{2}}$=3$\overrightarrow{{ξ}_{2}}$，得$\overrightarrow{{ξ}_{2}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，
所以對應(yīng)特征值為2的一個特征向量是$\overrightarrow{{ξ}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$；
對應(yīng)特征值為3的一個特征向量是$\overrightarrow{{ξ}_{2}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$．
（Ⅱ）設(shè)曲線C上的點P（x，y）在矩陣M的作用下變成P′（x′，y′），
則$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{0}&\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{x′=ax+y}\\{y′=ay}\end{array}\right.$，
將變換公式代入曲線C′：x²-2xy-1=0，
可得（ax+y）²-2（ax+y）y-1=0，
即a²x²-y²-1=0，
即為曲線C：x²-y²=1，
∴a²=1，
又a＞0，∴a=1．

點評 本題考查矩陣的變換性質(zhì)，是一道中檔題．