Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-2|，若函數(shù)g（x）=（x+a）•f（x）的圖象中心對稱，則a的值為（　�。�

• A． 1
• B． -2
• C． 0
• D． -$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）的圖象從左到右依次為一段拋物線、一條線段、一段拋物線，對稱中心必須是線段的中點．線段中點的橫坐標：$\frac{a+2}{2}$，拋物線的對稱軸為x=$\frac{-a+\frac{a+2}{2}}{2}$，令$\frac{a+2}{2}$=$\frac{-a+\frac{a+2}{2}}{2}$，解得a的值，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=（x+a）（|x-a|+|x-2|），
首先注意到，函數(shù)f（x）的圖象從左到右依次為一段拋物線、一條線段、一段拋物線．
因此，圖形的對稱中心必須是線段的中點．（因為直線旋轉(zhuǎn)180°以后只能和自己重合）
另外，兩段拋物線要旋轉(zhuǎn)180°以后重合，必須繞著其對稱軸上的某個點旋轉(zhuǎn)．
左側(cè)的一段拋物線方程為f（x）=（x+a）（a+2-2x），對稱軸為x=$\frac{-a+\frac{a+2}{2}}{2}$，
中間一條線段的方程為 f（x）=（x+a）|a-x+x-2|=（x+a）•|a-2|，線段中點的橫坐標：$\frac{a+2}{2}$，
右側(cè)的一段拋物線方程為f（x）=（x+a）（2x-2-a），對稱軸為x=$\frac{-a+\frac{a+2}{2}}{2}$．
令$\frac{a+2}{2}$=$\frac{-a+\frac{a+2}{2}}{2}$，解得a=-$\frac{2}{3}$，
故選：D．

點評 本題主要考查絕對值的函數(shù)，函數(shù)圖象的對稱性應(yīng)用，屬于中檔題．