Question

8．如圖，邊長為4的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC上的點，將△AED和△DCF折起，使A，C兩點重合于P．

（1）求證：PD⊥EF；
（2）當BE=BF=$\frac{1}{4}$BC時，求四棱錐P-BEDF的體積．

Answer 1

分析 （1）由折疊前四邊形ABCD為正方形，可得折疊后PD⊥PE，PD⊥PF，結(jié)合線面垂直的判定定理可得PD⊥平面PEF，進而由線面垂直的性質(zhì)定理，得到答案．
（2）當BE=BF=$\frac{1}{4}$BC時，計算出△EFD，△EFB的面積，點P到平面BEDF的距離，進而求四棱錐P-BEDF的體積．

解答 （1）證明：折起前AD⊥AE，CD⊥CF，

折起后，PD⊥PE，PD⊥PF．（2分）
∵PE∩PF=P，∴PD⊥平面PEF，（4分）
∵EF?平面PEF，∴PD⊥EF．（6分）
（2）解：當時，由（1）可得PD⊥平面PEF．（7分）
此時，$EF=\sqrt{2}$，${S_{△BEF}}=\frac{1}{2}，{S_{△ADE}}={S_{△CDF}}=\frac{1}{2}×3×4=6$．（8分）
△PEF的高為${h_1}=\sqrt{P{F^2}-{{（{\frac{EF}{2}}）}^2}}=\sqrt{C{F^2}-{{（{\frac{EF}{2}}）}^2}}=\sqrt{{3^2}-{{（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{34}}}{2}$（9分）
∴${S_{△PEF}}=\frac{1}{2}EF•{h_1}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{34}}}{2}=\frac{{\sqrt{17}}}{2}$（10分）
∴${V_{D-PEF}}=\frac{1}{3}{S_{△PEF}}•DP=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{17}}}{2}×4=\frac{{2\sqrt{17}}}{3}$（11分）
∵${S_{△DEF}}={S_{ABCD}}-{S_{△BEF}}-{S_{△ADE}}-{S_{△CDF}}=16-\frac{1}{2}-6-6=\frac{7}{2}$（12分）
設(shè)點P到平面BEDF的距離為h，則${V_{P-DEF}}=\frac{1}{3}{S_{△DEF}}•h=\frac{7}{6}h$
∵V_D-PEF=V_P-DEF，∴$\frac{{2\sqrt{17}}}{3}=\frac{7}{6}h$，
解得$h=\frac{{4\sqrt{17}}}{7}$（13分）
∴四棱錐P-BEDF的體積${V_{P-BEDF}}=\frac{1}{3}（{S_{△DEF}}+{S_{△BEF}}）•h=\frac{1}{3}（{\frac{7}{2}+\frac{1}{2}}）•\frac{{4\sqrt{17}}}{7}=\frac{{16\sqrt{17}}}{21}$（14分）

點評 本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，點，線，面的距離計算，（1）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直，線面垂直與面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，（2）的關(guān)鍵是等積法的熟練應(yīng)用．