Question

5．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D為AC的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-BD-C的余弦值；
（Ⅲ）在側(cè)棱AA₁上是否存在點(diǎn)P，使得CP⊥平面BDC₁？若存在，求出AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角C₁-BD-C的余弦值；
（Ⅲ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：連接B₁C，與BC₁相交于O，連接OD，
∵BCC₁B₁是矩形，∴O是B₁C的中點(diǎn)，
又D是AC的中點(diǎn)，∴OD∥AB₁，
∵AB₁?平面BDC₁，OD?平面BDC₁，
∴AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系如圖，
則C₁（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面BDC₁的一個(gè)法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}B}=3y+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=x+3y=0}\end{array}\right.$，令x=1，則$\overrightarrow{m}$=（1，$-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$），
則$\overrightarrow{{C}_{1}C}$=（0，3，0）是平面ABC的一個(gè)法向量，
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{{C}_{1}C}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}C}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{{C}_{1}C}|}$=$\frac{-1}{\frac{7}{6}×3}$=-$\frac{2}{7}$，由題意知二面角C₁-BD-C是銳二面角，
∴二面角C₁-BD-C的余弦值為$\frac{2}{7}$．
假設(shè)側(cè)棱AA₁上存在一點(diǎn)P（2，y，0），（0≤y≤3）使CP⊥平面BDC₁，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{{C}_{1}B}=0}\\{\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3（y-3）=0}\\{2+3（y-3）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y=3}\\{y=\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，此時(shí)方程組無(wú)解，∴假設(shè)不成立，
即側(cè)棱AA₁上是不存在點(diǎn)P，使得CP⊥平面BDC₁．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系的判斷以及二面角的求解，建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．