Question

2．在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}$（其中θ為參數(shù)），點(diǎn)M是曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在曲線C₂上，且滿足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$．
（Ⅰ）求曲線C₂的普通方程；
（Ⅱ）以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線θ=$\frac{π}{3}$，與曲線C₁，C₂分別交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)P（x，y），M（x′，y′），因?yàn)辄c(diǎn)M是曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在曲線C₂上，將M坐標(biāo)代入，消去θ，得到M滿足的方程，再由向量共線，得到P滿足的方程；
（Ⅱ）以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，分別利用極坐標(biāo)方程表示兩個(gè)曲線，求出A，B的極坐標(biāo)，得到AB長度．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)M是曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在曲線C₂上，且滿足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$．
設(shè)P（x，y），M（x′，y′），則x=2x′，y=2y′，并且$\left\{\begin{array}{l}{x′=1+\sqrt{3}cosθ}\\{y′=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，
消去θ得，（x′-1）²+y′²=3，
所以曲線C₂的普通方程為：（x-2）²+y²=12；
（Ⅱ）以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρcosθ-2=0，將θ=$\frac{π}{3}$代入得ρ=2，∴A的極坐標(biāo)為（2，$\frac{π}{3}$），曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ-8=0，將$θ=\frac{π}{3}$代入得ρ=4，所以B的極坐標(biāo)為（4，$\frac{π}{3}$），所以|AB|=4-2=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了將參數(shù)方程化為普通方程以及利用極坐標(biāo)方程表示曲線．