Question

4．設(shè)$\overrightarrow{a}$=（2，-1，-2），$\overrightarrow$=（1，1，z），問z為何值時？＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞最小，并求最小值．

Answer 1

分析 利用向量夾角公式可得$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{1-2z}{3\sqrt{2+{z}^{2}}}$，只考慮1-2z＞0，解得z$＜\frac{1}{2}$．令f（z）=$\frac{（1-2z）^{2}}{9（2+{z}^{2}）}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：$|\overrightarrow{a}|$=3，$|\overrightarrow|$=$\sqrt{2+{z}^{2}}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1-2z．
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{1-2z}{3\sqrt{2+{z}^{2}}}$，
只考慮1-2z＞0，解得z$＜\frac{1}{2}$．
令f（z）=$\frac{（1-2z）^{2}}{9（2+{z}^{2}）}$，
f′（z）=$\frac{2（2z-1）（z+4）}{9（2+{z}^{2}）^{2}}$，可得z=-4，f（z）取得最大值，
f（-4）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞最小值為$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．