Question

15．已知直線l過坐標原點O，圓C的方程為x²+y²-6y+4=0．
（Ⅰ）當直線l的斜率為$\sqrt{2}$時，求l與圓C相交所得的弦長；
（Ⅱ）設直線l與圓C交于兩點A，B，且A為OB的中點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，直線l的方程為y=$\sqrt{2}$x，圓C圓心為（0，3），半徑為$\sqrt{5}$，求出圓心到直線l的距離，即可求l與圓C相交所得的弦長；
（Ⅱ）設直線l與圓C交于兩點A，B，且A為OB的中點，求出A的坐標，即可求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知，直線l的方程為y=$\sqrt{2}$x，圓C圓心為（0，3），半徑為$\sqrt{5}$，…（3分）
所以，圓心到直線l的距離為$\frac{|3|}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．…（5分）
所以，所求弦長為2$\sqrt{5-3}$=2$\sqrt{2}$．…（6分）
（Ⅱ） 設A（x₁，y₁），因為A為OB的中點，則B（2x₁，2y₁）．…（8分）
又A，B在圓C上，
所以 x₁²+y₁²-6y₁+4=0，4x₁²+4y₁²-12y₁+4=0．…（10分）
解得y₁=1，x₁=±1，…（11分）
即A（1，1）或A（-1，1）．…（12分）
所以，直線l的方程為y=x或y=-x．…（13分）

點評 本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．