Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，其中a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g（x）在閉區(qū)間上的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a（{-x}^{2}+2x）}{{x}^{4}}$，（x≠0），
因?yàn)閍＞0，所以由f′（x）＞0，-x²+2x＞0得0＜x＜2，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．
由f′（x）＜0，得-x²+2x＜0，即x＞2或x＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2）．
（2）g（x）=xlnx-x²f（x）=xlnx-a（x-1），
則g'（x）=lnx+1-a，由g'（x）=lnx+1-a=0，解得x=e^a-1．
所以在區(qū)間（0，e^a-1）上，函數(shù)單調(diào)遞減，在（e^a-1．，+∞）上，函數(shù)單調(diào)遞增．
①當(dāng)e^a-1．≤1，即0＜a≤1時(shí)，在區(qū)間[l，e]上g（x）單調(diào)遞增，所以g（x）的最小值為g（1）=0．
②當(dāng)e^a-1．≥e，即a≥2時(shí)，在區(qū)間[l，e]上g（x）單調(diào)遞減，所以g（x）的最小值為g（e）=e+a-ae．
③當(dāng)1＜e^a-1．＜e，即1＜a＜2時(shí)，g（x）的最小值為g（e^a-1）=（a-1）e^a-1-a（e^a-1-1）=a-e^a-1．
綜上當(dāng)0＜a≤1時(shí)，g（x）的最小值為g（1）=0．
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，g（x）的最小值為g（e^a-1），
當(dāng)≥2時(shí)，g（x）的最小值為g（e）=e+a-ae．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，比較綜合．