Question

已知動圓與直線相切且與圓：外切。
（1）求圓心的軌跡方程；
（2）過定點(diǎn)作直線交軌跡于兩點(diǎn)，是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，求證：；

Answer 1

（1）；（2）詳見解析．

試題分析：（1）令點(diǎn)坐標(biāo)為，，動圓得半徑為，則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切得性質(zhì)可得，，，即，即，化簡可求動圓圓心的軌跡C的方程，也可根據(jù)題意動圓圓心到定點(diǎn)和到定直線的距離相等，由拋物線的定義可直接求；（2）求證：；由題意是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，只要證明，即證即可，因此可設(shè)直線的方程為，將直線方程代入得，，有根與系數(shù)關(guān)系，可證得．
試題解析：（1）法1：根據(jù)題意動圓圓心到定點(diǎn)和到定直線的距離相等,根據(jù)拋物線的定義可知，動圓圓心的軌跡C的方程為.           5分
法2：設(shè)，則，即得.     5分
（2）依題意，設(shè)直線的方程為，則兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組:消去并整理，得,
設(shè)直線AE和BE的斜率分別為，則: