Question

6．如圖，已知二面角α-AB-β的大小為120°，PC⊥α，PD⊥β，C、D是垂足，C、D不在直線AB上，PC=PD=$\sqrt{3}$，有如下命題：
①直線AB與直線CD是異面直線；
②直線AB與直線CD垂直；
③∠CPD=60°；
④點P到直線AB的距離是2，
其中正確命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 如圖所示，設平面PCD與AB相交于點Q，連接CQ，QD．由于PC⊥α，PD⊥β，α∩β=AB．可得PC⊥AB，PD⊥AB，AB⊥CQ，AB⊥QD，于是∠CQD是二面角α-AB-β的平面角，大小為120°．即可判斷出正誤．

解答 解：如圖所示，
設平面PCD與AB相交于點Q，連接CQ，QD．
∵PC⊥α，PD⊥β，α∩β=AB．
∴PC⊥AB，PD⊥AB，
∴AB⊥平面PCQD．
∴AB⊥CQ，AB⊥QD，
∴∠CQD是二面角α-AB-β的平面角，大小為120°．
因此：直線AB與直線CD是異面直線；直線AB與直線CD垂直；∠CPD=60°；由PC=PD=$\sqrt{3}$，可得點P到直線AB的距離是2．
其中正確命題的個數(shù)是4．
故選：D．

點評 本題考查了空間位置關系及其空間角，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．