Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AC是圓O的一條直徑，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點，∠DAC=∠AOB．
（I）求證：BE∥平面PAD；
（2）求證：平面BOE⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）由OB∥AD，OE∥PA可知平面OBE∥平面PAD，故而BE∥平面PAD；
（2）由OE⊥平面ABCD可得CD⊥OE，由圓周角定理得CD⊥AD，于是CD⊥OB，故而CD⊥平面OBE，所以平面BOE⊥平面PCD．

解答 證明：（1）∵O，E分別是AC，PC的中點，
∴OE∥PA，
∵∠DAC=∠AOB，
∴AD∥OB，
又PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，OB?平面BOE，OE?平面BOE，OB∩OE=O，
∴平面PAD∥平面BOE，∵BE?平面BOE，
∴BE∥平面PAD．
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，∵PA∥OE，
∴OE⊥CD．
∵AC是圓O的直徑，∴AD⊥CD，
∵AD∥OB，∴CD⊥OB，
又OB?平面BOE，OE?平面BOE，OB∩OE=O，
∴CD⊥平面BOE，又CD?平面PCD，
∴平面BOE⊥平面PCD．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)與判定，屬于中檔題．