Question

7．下列命題中正確的是②③④．（填上你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)）
①空間中三個(gè)平面α，β，γ，若α⊥β，γ⊥β，則α∥γ；
②若a，b，c為三條兩兩異面的直線，則存在無數(shù)條直線與a，b，c都相交；
③球O與棱長(zhǎng)為a的正四面體各面都相切，則該球的表面積為$\frac{π}{6}$a²；
④三棱錐P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，則PC⊥AB．

Answer 1

分析 以直三棱錐為模型即可判斷①錯(cuò)誤；以平行六面體為模型可判斷②正確；利用等體積法即可求出正四面體內(nèi)切球的半徑，繼而得出內(nèi)切球的面積；由線面垂直的判定與性質(zhì)可證P在底面的投影為△ABC的垂心，根據(jù)線面垂直即可證出結(jié)論成立．

解答 解：對(duì)于①，以直三棱柱為模型，三棱柱的兩個(gè)側(cè)面都與底面垂直，但側(cè)面不平行，故①錯(cuò)誤
對(duì)于②，在a、b、c上取三條線段AB、CC′、A′D′，
作一個(gè)平行六面體ABCD-A′B′C′D′，如右圖所示

在c上，即在直線A′D′上取一點(diǎn)P，過a、P作一個(gè)平面β
平面β與DD′交于Q、與CC′交于R，
由面面平行的性質(zhì)定理，得QR∥a，
于是PR不與a平行，但PR與a共面．故PR與a相交，得直線PR是與a，b，c都相交的一條直線
根據(jù)點(diǎn)P的任意性，得與a，b，c都相交的直線有無窮多條．故②正確．
對(duì)于③，設(shè)正三棱錐內(nèi)切球心為O，半徑為r，連結(jié)OP，OA，OB，OC．則球心O到各面的距離均為r．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{O-ABC}•r$×4=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}•r×4$=$\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^{2}r$．
∵三棱錐P-ABC為棱長(zhǎng)為a的正四面體，∴棱錐的高h(yuǎn)=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a$=$\frac{\sqrt{2}{a}^{3}}{12}$．
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^{2}r$=$\frac{\sqrt{2}{a}^{3}}{12}$．
解得r=$\frac{\sqrt{6}a}{12}$．
∴內(nèi)切球的面積S=4πr²=4$π×\frac{6{a}^{2}}{144}$=$\frac{π{a}^{2}}{6}$．故③正確．
對(duì)于④，過P作平面ABC的垂線PO，連結(jié)OA，OB，OC

則PO⊥BC，又PA⊥BC，故BC⊥平面PAO，于是BC⊥OA，
同理可證AC⊥OB，
所以O(shè)是△ABC的垂心，于是AB⊥CO，
又AB⊥PO，于是AB⊥平面PCO，所以PC⊥AB，故④正確．
故答案為②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間項(xiàng)目位置關(guān)系的判斷，平面的性質(zhì)，多面體與內(nèi)切球的關(guān)系，屬于中檔題．