Question

如圖，在Rt△ABC中，, BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E， 點(diǎn)D在AB上，．
（1）求證：AC是△BDE的外接圓的切線(xiàn)；
（2）若，求EC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）

解析試題分析：（1）欲證為的外接圓切線(xiàn),利用“弦切角與同弦所對(duì)的圓周角相等”性質(zhì)，若能證明，則可證結(jié)論，方法二：取的中點(diǎn)為,若能證,則結(jié)論也成立（自行證明）；（2）根據(jù)切割線(xiàn)定理（圓冪定理之一），可得,并利用（1）中所證得，利用三角形,可求得.
試題解析：
證明：
因?yàn)樵赗t△ABC中，, 點(diǎn)D在AB上，．
所以DB是的外接圓直徑，
又因?yàn)锽E平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，
故,
故AC是△BDE的外接圓的切線(xiàn).             4分
設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接OE，
由（1）知?jiǎng)tOEAC，從而‖BC,
又,
從而AC=9.,得EC=3       .10分
考點(diǎn)：(1)圓的切線(xiàn)性質(zhì)；（2）三角形相似，切割線(xiàn)定理.