Question

6．已知f（x）=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$，方程f（x）=kx-2恰有兩個不同的根，則實數(shù)k的取值范圍為（0，1）∪（1，4）．

Answer 1

分析 先畫出函數(shù)y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=圖象，利用方程$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=kx-2有兩個不同的實數(shù)根?函數(shù)y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的圖象有兩個交點，即可求出．

解答 解：y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＞1或x＜-1}\\{-x-1，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，
畫出函數(shù)y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的圖象，
由圖象可以看出，y=kx-2圖象恒過A（0，-2），
①當k＜0時，函數(shù)函數(shù)y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的圖象只有一個交點，
②當0＜k＜1時，函數(shù)y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的圖象有兩個交點，
即方程$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=kx-2有兩個不同的實數(shù)根；
③當k=1時，函數(shù)y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的圖象有1個交點，
即方程$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=kx-2有1個不同的實數(shù)根；
④當1＜k＜4時，函數(shù)y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的圖象有兩個交點，
即方程$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=kx-2有兩個不同的實數(shù)根．
因此實數(shù)k的取值范圍是0＜k＜1或1＜k＜4．
故答案為：（0，1）∪（1，4）．

點評 本題考查方程有兩個實數(shù)解的條件，熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法及把問題等價轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．