Question

7．下列函數(shù)①f（x）=x²（x＞0）；②f（x）=x³（x＞0）；③f（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0）；④f（x）=x${\;}^{\frac{1}{3}}$（x＞0），其中對任意x₁，x₂∈（0，+∞），滿足f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]的函數(shù)序號是④．

Answer 1

分析 對任意x₁，x₂∈（0，+∞），滿足f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]的函數(shù)恒成立，則函數(shù)在為（0，+∞）上凸函數(shù)，對四個函數(shù)進行分析，可得結(jié)論．

解答 解：對任意x₁，x₂∈（0，+∞），滿足f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]的函數(shù)恒成立，則函數(shù)在為（0，+∞）上凸函數(shù)，
①f（x）=x²（x＞0）下凹函數(shù)，不滿足；
②f（x）=x³（x＞0）下凹函數(shù)，不滿足；
③f（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0）；下凹函數(shù)，不滿足；
④f（x）=x${\;}^{\frac{1}{3}}$（x＞0），滿足條件．
故答案為：④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的性質(zhì)，任意x₁，x₂∈（0，+∞），滿足f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]的函數(shù)恒成立，則函數(shù)在為（0，+∞）上凸函數(shù)是解題的關(guān)鍵．