Question

已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)與橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的右焦點(diǎn)重合．
（1）求拋物線C的方程；
（2）在拋物線C的對(duì)稱軸上是否存在定點(diǎn)M，使過點(diǎn)M的動(dòng)直線與拋物線C相交于P，Q兩點(diǎn)時(shí)，都有∠POQ=

π

2

．若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得拋物線C的焦點(diǎn)F（4，0），由此能求出拋物線方程．
（2）設(shè)點(diǎn)M（a，0），過點(diǎn)M的動(dòng)直線為y=k（x-a），聯(lián)立

y2=16x y=k(x-a)

⇒k2x2-2(ak2+8)x+a2k2=0，由此利用韋達(dá)定理、向量知識(shí)，結(jié)合已知條件能求出M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)與橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的右焦點(diǎn)重合，
∴拋物線C的焦點(diǎn)F（4，0），
∴拋物線方程：y²=16x…（4分）
（2）設(shè)點(diǎn)M（a，0）（a≠0）滿足題設(shè)，…（5分）
設(shè)過點(diǎn)M的動(dòng)直線為y=k（x-a），
則聯(lián)立

y2=16x y=k(x-a)

⇒k2x2-2(ak2+8)x+a2k2=0，
則x1+x2=

2(ak2+8)

k2

，x1x2=a2，…（7分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則由∠POQ=

π

2

，
得x₁x₂+y₁y₂=0，…（8分）
從而x1x2+k2(x1-a)(x2-a)=0⇒a2-16a=0⇒a=16； …（10分）
若PQ的方程為x=a，則將代入拋物線方程，得y=±4

a

，
當(dāng)∠POQ=

π

2

時(shí)，a=4

a

即a=16，…（11分）
所以存在滿足條件的點(diǎn)M（16，0）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、直線方程、拋物線、向量等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．