Question

設函數(shù)f（x）=lnx+

m

x

，m∈R．
（Ⅰ）當m=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求f（x）的極小值；
（Ⅱ）討論函數(shù)g（x）=f′（x）-

x

3

零點的個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出導數(shù)，令它大于0，得到增區(qū)間，令小于0，得到減區(qū)間，從而求出極小值；
（Ⅱ）求出g（x）的表達式，令它為0，則有m=-

1

3

x³+x．設h（x）=-

1

3

x³+x，其定義域為（0，+∞）．則g（x）的零點個數(shù)為h（x）與y=m的交點個數(shù)，求出單調區(qū)間得到最值，畫出h（x）的圖象，由圖象即可得到零點個數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）當m=e時，f（x）=lnx+

e

x

，其定義域為（0，+∞）．
f′（x）=

1

x

-

e

x2

=

x-e

x2

                                                      
令f′（x）=0，x=e．f′（x）＞0，則0＜x＜e；f′（x）＜0，則x＞e．
故當x=e時，f（x）取得極小值f（e）=lne+

e

e

=2．
（Ⅱ）g（x）=f′（x）-

x

3

=

1

x

-

m

x2

-

x

3

=

3x-3m-x3

3x2

，其定義域為（0，+∞）．
令g（x）=0，得m=-

1

3

x³+x．
設h（x）=-

1

3

x³+x，其定義域為（0，+∞）．則g（x）的零點個數(shù)為h（x）與y=m的交點個數(shù)．
h′（x）=-x²+1=-（x+1）（x-1）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	遞增	極大值	遞減

故當x=1時，h（x）取得最大值h（1）=

2

3

．
作出h（x）的圖象，
由圖象可得，
①當m＞

2

3

時，g（x）無零點；                                               
②當m=

2

3

或m≤0時，g（x）有且僅有1個零點；                              
③當0＜m＜

2

3

時，g（x）有兩個零點．

點評：本題考查導數(shù)的綜合運用：求單調區(qū)間和求極值，考查函數(shù)的零點問題，同時考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．