Question

15．已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），P（x₀，y₀）是直線y=x+3上任意一點(diǎn)，以A，B為焦點(diǎn)的橢圓過(guò)P，記橢圓離心率e關(guān)于x₀的函數(shù)為e（x₀），那么下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． e與x₀一一對(duì)應(yīng)
• B． 函數(shù)e（x₀）無(wú)最小值，有最大值
• C． 函數(shù)e（x₀）是增函數(shù)
• D． 函數(shù)e（x₀）有最小值，無(wú)最大值

Answer 1

分析 運(yùn)用橢圓的定義和離心率公式，可得a取最大值時(shí)e取最小，a取最小值時(shí)e取最大．再由橢圓的定義和定直線上一點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和有最小值，而無(wú)最大值，即可判斷A，C，D錯(cuò)；B正確．

解答 解：由題意可得c=2，橢圓離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{a}$．
故當(dāng)a取最大值時(shí)e取最小，a取最小值時(shí)e取最大．
由橢圓的定義可得|PA|+|PB|=2a，$a=\frac{{|{PA}|+|{PB}|}}{2}$，
由于|PA|+|PB|有最小值而沒(méi)有最大值，
即a有最小值而沒(méi)有最大值，故橢圓離心率e有最大值而沒(méi)有最小值，故B正確，且D不正確．
當(dāng)直線y=x+3和橢圓相交時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離之和相等，都等于2a，
故這兩個(gè)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的離心率e相同，故A不正確．
由于當(dāng)x₀的取值趨于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，|PA|+|PB|=2a趨于正無(wú)窮大；
而當(dāng)x₀的取值趨于正無(wú)窮大時(shí)，|PA|+|PB|=2a也趨于正無(wú)窮大，
故函數(shù)e（x₀）不是增函數(shù)，故C不正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義和離心率公式的運(yùn)用，以及直線上一點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之和的最值的判斷，考查推理能力，屬于中檔題．