Question

7．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，-1）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）如果過(guò)點(diǎn)$B（0，\frac{3}{5}）$的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)（M，N點(diǎn)與A點(diǎn)不重合），當(dāng)|AM|=|AN|時(shí)，求直線MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，-1），求出b，由離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出a，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程為$y=kx+\frac{3}{5}$，與橢圓聯(lián)立得$（1+4{k^2}）{x^2}+\frac{24}{5}kx-\frac{64}{25}=0$，由此利用韋達(dá)定理、根的判別式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合題意能求出直線MN的方程．

解答 （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵橢圓：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，-1），∴b=1．…（1分）
∵離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{{a^2}-1}}}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得a=2．…（3分）
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$． …（4分）
（Ⅱ）①若過(guò)點(diǎn)$B（0，\frac{3}{5}）$的直線斜率不存在，M，N兩點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)與A點(diǎn)重合，不滿足題目條件．…（5分）
②若過(guò)點(diǎn)$B（0，\frac{3}{5}）$的直線斜率存在，設(shè)直線MN的方程為$y=kx+\frac{3}{5}$．…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+\frac{3}{5}\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得$（1+4{k^2}）{x^2}+\frac{24}{5}kx-\frac{64}{25}=0$．…（7分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
則$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{24k}{{5（1+4{k^2}）}}\\{x_1}•{x_2}=-\frac{64}{{25（1+4{k^2}）}}\\△＞0\end{array}\right.$．…（8分）
設(shè)MN的中點(diǎn)為P，則$P（\frac{-12k}{{5（1+4{k^2}）}}，\frac{3}{{5（1+4{k^2}）}}）$．…（9分）
如果|AM|=|AN|，那么AP⊥MN．…（10分）
若k=0，則$P（0，\frac{3}{5}）$，顯然滿足AP⊥MN，此時(shí)直線MN的方程為$y=\frac{3}{5}$； …（11分）
若k≠0，則${k_{AP}}=-\frac{{20{k^2}+8}}{12k}=-\frac{1}{k}$，解得$k=±\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（12分）
所以直線MN的方程為$y=±\frac{{\sqrt{5}}}{5}x+\frac{3}{5}$，即$\sqrt{5}x-5y+3=0$或$\sqrt{5}x+5y-3=0$．
綜上所述：直線MN的方程為$y=\frac{3}{5}$或$\sqrt{5}x-5y+3=0$或$\sqrt{5}x+5y-3=0$． …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、根的判別式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．