Question

3．在棱長(zhǎng)為1的ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，H在棱DD₁上．
（1）當(dāng)H是DD₁的中點(diǎn)時(shí)，求二面角H-A₁C₁-E的余弦值；
（2）若直線A₁H與平面A₁C₁FE所成的角的正弦值為$\frac{3\sqrt{17}}{17}$，求DH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面EA₁C₁的法向量為$\overrightarrow{n}$，平面HA₁C₁的法向量為$\overrightarrow{m}$，根據(jù)向量的夾角公式即可求出；
（2）設(shè)H（0，0，a），由（1）可知，設(shè)平面EA₁C₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（2，2，1），設(shè)直線A₁H與平面A₁C₁FE所成的角θ，向量$\overrightarrow{{A}_{1}H}$與向量$\overrightarrow{n}$的夾角為α，
則sinθ=|cosα|，解得即可．

解答 解：（1）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A₁（1，0，1），C₁（0，1，1），E（1，$\frac{1}{2}$，0），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，1，0），
當(dāng)H是DD₁的中點(diǎn)時(shí)，H（0，0，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}H}$=（-1，0，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，$\frac{1}{2}$，-1），
設(shè)平面EA₁C₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，
令y=2，則x=2，z=1，
∴$\overrightarrow{n}$=（2，2，1），
∴|$\overrightarrow{n}$|=3，
設(shè)平面HA₁C₁的法向量為$\overrightarrow{m}$（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}H}=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{-x-\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則y=1，z=-2，
∴$\overrightarrow{m}$=（1，1，-2），
∴|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{6}$，
∴$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{m}$=1×2+1×2-2×1=2，
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m•}\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$，
（2）設(shè)H（0，0，a），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}H}$=（-1，0，a-1），
∴|$\overrightarrow{{A}_{1}H}$|=$\sqrt{1+（a-1）^{2}}$，
由（1）可知，設(shè)平面EA₁C₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（2，2，1），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}H}$•$\overrightarrow{n}$=-2+a-1=a-3，
設(shè)直線A₁H與平面A₁C₁FE所成的角θ，向量$\overrightarrow{{A}_{1}H}$與向量$\overrightarrow{n}$的夾角為α，
∴sinθ=|cosα|=|$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}H}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{{A}_{1}H}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|3-a|}{3•\sqrt{1+（a-1）^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$，
解得a=$\frac{3}{4}$，或a=$\frac{3}{16}$，
∴DH=$\frac{3}{4}$，或DH=$\frac{3}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求二面角的大小，求直線與平面所成角的正弦值．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．