【題目】已知 是平面內(nèi)凸三十五邊形的35個頂點，且中任何兩點之間的距離不小于 . 證明：從這35個點中可以選出五個點，使得這五個點中任意兩點之間的距離不小于3．

【答案】見解析

【解析】

先證明一個引理

引理 設(shè) 為 這35個點中的任意一點．則在余下的34個點中，至多六個點與點的距離小于3．

證明 用反證法.

如圖，假設(shè)有7個點(不妨設(shè)為)與點的距離小于3．

由題設(shè)知.

故 這六個角中至少有一個角不大于（不妨設(shè)）.

設(shè)，.則.

根據(jù)對稱性不妨設(shè).

由于，因此，

在區(qū)間)上為增函數(shù)．

故.

從而，與條件矛盾.

回到原題．

根據(jù)引理，從點出發(fā)的34條線段中至多有6條線段的長度小于3，即至少有28條線段的長度不小于3．不妨設(shè)線段的長度不小于3.

再考慮從點出發(fā)的27條線段．同理，至少有21條線段的長度不小于3．不妨設(shè)線段的長度不小于3．

再考慮從點出發(fā)的20條線段．同理，至少有14條線段的長度不小于3．不妨設(shè)線段的長度不小于3．

再考慮從點出發(fā)的13條線段．同理，至少有7條線段的長度不小于3．不妨設(shè)線段的長度不小于3．

這樣得到五個點、、、、 ，其中任意兩點之間的距離不小于3．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再把圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖象，則關(guān)于的圖象，下列結(jié)論不正確的是

A. 周期為 B. 關(guān)于點對稱

C. 在單調(diào)遞增 D. 在單調(diào)遞減

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期，我市教育局提出“停課不停學”的口號，鼓勵學生線上學習.某校數(shù)學教師為了調(diào)查高三學生數(shù)學成績與線上學習時間之間的相關(guān)關(guān)系，在高三年級中隨機選取名學生進行跟蹤問卷，其中每周線上學習數(shù)學時間不少于小時的有人，在這人中分數(shù)不足分的有人；在每周線上學習數(shù)學時間不足于小時的人中，在檢測考試中數(shù)學平均成績不足分的占.

（1）請完成列聯(lián)表；并判斷是否有的把握認為“高三學生的數(shù)學成績與學生線上學習時間有關(guān)”；

分數(shù)不少于分

分數(shù)不足分

合計

線上學習時間不少于小時

線上學習時間不足小時

合計

（2）在上述樣本中從分數(shù)不足于分的學生中，按照分層抽樣的方法，抽到線上學習時間不少于小時和線上學習時間不足小時的學生共名，若在這名學生中隨機抽取人，求這人每周線上學習時間都不足小時的概率.（臨界值表僅供參考）

（參考公式，其中）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】拿破侖為人好學，是法蘭西科學院院士，他對數(shù)學方面很感興趣，在行軍打仗的空閑時間，經(jīng)常研究平面幾何。他提出了著名的拿破侖定理：以三角形各邊為邊分別向外（內(nèi)）側(cè)作等邊三角形，則它們的中心構(gòu)成一個等邊三角形。如圖所示，以等邊的三條邊為邊，向外作個正三角形，取它們的中心，順次連接，得到，圖中陰影部分為與的公共部分。若往中投擲一點，則該點落在陰影部分內(nèi)的概率為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在多面體中，是邊長為的正方形，，平面平面，，。

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2018年“雙十一”期間，某商場舉辦了一次有獎促銷活動，顧客消費每滿1000元可參加一次抽獎(例如：顧客甲消費930元，不得參與抽獎；顧客乙消費3400元，可以抽獎三次)。如圖1，在圓盤上繪制了標有A，B，C，D的八個扇形區(qū)域，每次抽獎時由顧客按動按鈕使指針旋轉(zhuǎn)一次，旋轉(zhuǎn)結(jié)束時指針會隨機停在圓盤上的某一個位置，顧客獲獎的獎次由指針所指區(qū)域決定(指針與區(qū)域邊界線粗細忽略不計)。商家規(guī)定：指針停在標A，B，C，D的扇形區(qū)域分別對應(yīng)的獎金為200元、150元、100元和50元。已知標有A，B，C，D的扇形區(qū)域的圓心角成等差數(shù)列，且標D的扇形區(qū)域的圓心角是標A的扇形區(qū)域的圓心角的4倍．

(I)某顧客只抽獎一次，設(shè)該顧客抽獎所獲得的獎金數(shù)為X元，求X的分布列和數(shù)學期望；

(II)如圖2，該商場統(tǒng)計了活動期間一天的顧客消費情況．現(xiàn)按照消費金額分層抽樣選出15位顧客代表，其中獲得獎金總數(shù)不足100元的顧客代表有7位．現(xiàn)從這7位顧客代表中隨機選取兩位，求這兩位顧客的獎金總數(shù)和仍不足100元的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線： 與圓相交的弦長等于橢圓： （）的焦距長．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為原點，橢圓與拋物線（）交于、兩點，點為橢圓上一動點，若直線、與軸分別交于、兩點，求證： 為定值．

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【題目】為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在的范圍內(nèi)，規(guī)定分數(shù)在50以上（含50）的作文被評為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.

（1）求的值；

（2）填寫下面列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認為“獲得優(yōu)秀作文”與“學生的文理科”有關(guān)？

文科生

理科生

合計

獲獎

6

不獲獎

合計

400

（3）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學生中，任意抽取2名學生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.

附：，其中.

.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，設(shè)雙曲線的上焦點為，上頂點為，點為雙曲線虛軸的左端點，已知的離心率為，且的面積.

（1）求雙曲線的方程；

（2）設(shè)拋物線的頂點在坐標原點，焦點為，動直線與相切于點，與的準線相交于點，試推斷以線段為直徑的圓是否恒經(jīng)過軸上的某個定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.

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