【題目】已知 是平面內(nèi)凸三十五邊形的35個頂點,且中任何兩點之間的距離不小于 . 證明:從這35個點中可以選出五個點,使得這五個點中任意兩點之間的距離不小于3.
【答案】見解析
【解析】
先證明一個引理
引理 設(shè) 為 這35個點中的任意一點.則在余下的34個點中,至多六個點與點的距離小于3.
證明 用反證法.
如圖,假設(shè)有7個點(不妨設(shè)為)與點的距離小于3.
由題設(shè)知.
故 這六個角中至少有一個角不大于(不妨設(shè)).
設(shè),.則.
根據(jù)對稱性不妨設(shè).
由于,因此,
在區(qū)間)上為增函數(shù).
故.
從而,與條件矛盾.
回到原題.
根據(jù)引理,從點出發(fā)的34條線段中至多有6條線段的長度小于3,即至少有28條線段的長度不小于3.不妨設(shè)線段的長度不小于3.
再考慮從點出發(fā)的27條線段.同理,至少有21條線段的長度不小于3.不妨設(shè)線段的長度不小于3.
再考慮從點出發(fā)的20條線段.同理,至少有14條線段的長度不小于3.不妨設(shè)線段的長度不小于3.
再考慮從點出發(fā)的13條線段.同理,至少有7條線段的長度不小于3.不妨設(shè)線段的長度不小于3.
這樣得到五個點、、、、 ,其中任意兩點之間的距離不小于3.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)的圖象向左平移個單位,再把圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到的圖象,則關(guān)于的圖象,下列結(jié)論不正確的是
A. 周期為 B. 關(guān)于點對稱
C. 在單調(diào)遞增 D. 在單調(diào)遞減
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期,我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號,鼓勵學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時間之間的相關(guān)關(guān)系,在高三年級中隨機選取名學(xué)生進行跟蹤問卷,其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間不少于小時的有人,在這人中分數(shù)不足分的有人;在每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間不足于小時的人中,在檢測考試中數(shù)學(xué)平均成績不足分的占.
(1)請完成列聯(lián)表;并判斷是否有的把握認為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時間有關(guān)”;
分數(shù)不少于分 | 分數(shù)不足分 | 合計 | |
線上學(xué)習(xí)時間不少于小時 | |||
線上學(xué)習(xí)時間不足小時 | |||
合計 |
(2)在上述樣本中從分數(shù)不足于分的學(xué)生中,按照分層抽樣的方法,抽到線上學(xué)習(xí)時間不少于小時和線上學(xué)習(xí)時間不足小時的學(xué)生共名,若在這名學(xué)生中隨機抽取人,求這人每周線上學(xué)習(xí)時間都不足小時的概率.(臨界值表僅供參考)
(參考公式,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拿破侖為人好學(xué),是法蘭西科學(xué)院院士,他對數(shù)學(xué)方面很感興趣,在行軍打仗的空閑時間,經(jīng)常研究平面幾何。他提出了著名的拿破侖定理:以三角形各邊為邊分別向外(內(nèi))側(cè)作等邊三角形,則它們的中心構(gòu)成一個等邊三角形。如圖所示,以等邊的三條邊為邊,向外作個正三角形,取它們的中心,順次連接,得到,圖中陰影部分為與的公共部分。若往中投擲一點,則該點落在陰影部分內(nèi)的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年“雙十一”期間,某商場舉辦了一次有獎促銷活動,顧客消費每滿1000元可參加一次抽獎(例如:顧客甲消費930元,不得參與抽獎;顧客乙消費3400元,可以抽獎三次)。如圖1,在圓盤上繪制了標(biāo)有A,B,C,D的八個扇形區(qū)域,每次抽獎時由顧客按動按鈕使指針旋轉(zhuǎn)一次,旋轉(zhuǎn)結(jié)束時指針會隨機停在圓盤上的某一個位置,顧客獲獎的獎次由指針?biāo)竻^(qū)域決定(指針與區(qū)域邊界線粗細忽略不計)。商家規(guī)定:指針停在標(biāo)A,B,C,D的扇形區(qū)域分別對應(yīng)的獎金為200元、150元、100元和50元。已知標(biāo)有A,B,C,D的扇形區(qū)域的圓心角成等差數(shù)列,且標(biāo)D的扇形區(qū)域的圓心角是標(biāo)A的扇形區(qū)域的圓心角的4倍.
(I)某顧客只抽獎一次,設(shè)該顧客抽獎所獲得的獎金數(shù)為X元,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(II)如圖2,該商場統(tǒng)計了活動期間一天的顧客消費情況.現(xiàn)按照消費金額分層抽樣選出15位顧客代表,其中獲得獎金總數(shù)不足100元的顧客代表有7位.現(xiàn)從這7位顧客代表中隨機選取兩位,求這兩位顧客的獎金總數(shù)和仍不足100元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線: 與圓相交的弦長等于橢圓: ()的焦距長.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知為原點,橢圓與拋物線()交于、兩點,點為橢圓上一動點,若直線、與軸分別交于、兩點,求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中,參考的文科生與理科生人數(shù)之比為,且成績分布在的范圍內(nèi),規(guī)定分數(shù)在50以上(含50)的作文被評為“優(yōu)秀作文”,按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖,如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.
(1)求的值;
(2)填寫下面列聯(lián)表,能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)?
文科生 | 理科生 | 合計 | |
獲獎 | 6 | ||
不獲獎 | |||
合計 | 400 |
(3)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)從全市參考學(xué)生中,任意抽取2名學(xué)生,記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:,其中.
.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)雙曲線的上焦點為,上頂點為,點為雙曲線虛軸的左端點,已知的離心率為,且的面積.
(1)求雙曲線的方程;
(2)設(shè)拋物線的頂點在坐標(biāo)原點,焦點為,動直線與相切于點,與的準線相交于點,試推斷以線段為直徑的圓是否恒經(jīng)過軸上的某個定點?若是,求出定點的坐標(biāo);若不是,請說明理由.
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