Question

6．如圖，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），橢圓的長軸長為8，離心率為$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
（1）求橢圓方程；
（2）橢圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線交于原點(diǎn)，且（$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{DC}$$-\overrightarrow{BC}$）=0，求四邊形ABCD周長的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=4，運(yùn)用離心率公式可得c，再由a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）由題意的對稱性可得四邊形ABCD為平行四邊形，運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，可得$\overrightarrow{AB}$²=$\overrightarrow{AD}$²，即有四邊形ABCD為菱形，即有AC⊥BD，討論直線AC的斜率為0，可得最大值；不為0，設(shè)出直線AC的方程為y=kx，（k＞0），則BD的方程為y=-$\frac{1}{k}$x，代入橢圓方程，求得A，D的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡整理，由二次函數(shù)的最值求法，可得最小值．

解答 解：（1）由題意可得2a=8，即a=4，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，可得c=$\sqrt{7}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=3，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）由題意的對稱性可得四邊形ABCD為平行四邊形，
由（$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{DC}$$-\overrightarrow{BC}$）=0，可得（$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AD}$）•$\overrightarrow{DB}$=0，
即（$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）=0，
可得$\overrightarrow{AB}$²=$\overrightarrow{AD}$²，即有四邊形ABCD為菱形，
即有AC⊥BD，
設(shè)直線AC的方程為y=kx，（k＞0），則BD的方程為y=-$\frac{1}{k}$x，
代入橢圓方程可得x=±$\sqrt{\frac{144}{9+16{k}^{2}}}$，
可設(shè)A（$\sqrt{\frac{144}{9+16{k}^{2}}}$，k$\sqrt{\frac{144}{9+16{k}^{2}}}$），
同理可得D（$\sqrt{\frac{144{k}^{2}}{16+9{k}^{2}}}$，-$\frac{12}{\sqrt{16+9{k}^{2}}}$），
即有|AD|²=（$\frac{12}{\sqrt{9+16{k}^{2}}}$-$\frac{12k}{\sqrt{16+9{k}^{2}}}$）²+（$\frac{12k}{\sqrt{9+16{k}^{2}}}$+$\frac{12}{\sqrt{16+9{k}^{2}}}$）²
=$\frac{144（1+{k}^{2}）^{2}}{（9+16{k}^{2}）（16+9{k}^{2}）}$，
令1+k²=t（t＞1），
即有|AD|²=25•$\frac{144{t}^{2}}{（16t-7）（7+9t）}$=25•$\frac{144}{144+\frac{49}{t}-\frac{49}{{t}^{2}}}$，
由144+$\frac{49}{t}$-$\frac{49}{{t}^{2}}$=-49（$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{625}{4}$，
即有t=2，即k=±1時，|AD|取得最小值，且為$\frac{24}{5}$；
又當(dāng)AC的斜率為0時，BD為短軸，即有ABCD的周長取得最大值，且為20．
綜上可得四邊形ABCD的周長的最小值為$\frac{96}{5}$，最大值為20．

點(diǎn)評 熟練掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為聯(lián)立方程求交點(diǎn)、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的最值求法等是解題的關(guān)鍵．