Question

16．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，$AP=BP=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）線段AB上是否存在點(diǎn)M，使AB⊥平面PCM？并給出證明．
（Ⅱ）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)m是AB的中點(diǎn)時(shí)，推導(dǎo)出AB⊥PM，AB⊥CM，從而得到AB⊥平面PCM．
（Ⅱ）取AB中點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C，OB，OP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)m是AB的中點(diǎn)時(shí)，AB⊥平面PCM．
證明如下：
∵AP=PB，∴AB⊥PM…（2分）
又△ACB中，AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是正三角形，∴AB⊥CM，
又 PM∩CM=M，∴AB⊥平面PCM．…（4分）
解：（Ⅱ）取AB中點(diǎn)O，
由AB=PC=2，$AP=BP=\sqrt{2}$，解得PO=1，$OC=\sqrt{3}$，
∴OP²+OC²=PC²，∴OP⊥OC…（6分）
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C，OB，OP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直坐標(biāo)系O-xyz，
則B（0，1，0），$C（\sqrt{3}，0，0）$，P（0，0，1），$D（\sqrt{3}，-2，0）$，
∴$\overrightarrow{BC}=（\sqrt{3}，-1，0）$，$\overrightarrow{PC}=（\sqrt{3}，0，-1）$，$\overrightarrow{DC}=（0，2，0）$
設(shè)平面DCP的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n_1}=（1，y，z）$，則$\overrightarrow{n_1}⊥\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{n_1}⊥\overrightarrow{DC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}-z=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DC}=2y=0\end{array}\right.$，∴$z=\sqrt{3}$，y=0，∴$\overrightarrow{n_1}=（1，0，\sqrt{3}）$…（8分）
設(shè)平面BCP的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n_2}=（1，b，c）$，則$\overrightarrow{n_2}⊥\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{n_2}⊥\overrightarrow{BC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}-c=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}-b=0\end{array}\right.$，∴$c=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{n_2}=（1，\sqrt{3}，\sqrt{3}）$…（10分）
∴$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{4}{{2×\sqrt{7}}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
∵二面角B-PC-D為鈍角，
∴二面角B-PC-D的余弦值為$-\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查滿足線向垂直的點(diǎn)的位置的確定與證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，注意向量法的合理運(yùn)用．