Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，PA=PD，且PA⊥CD．
（1）求證：平面PAD⊥底面ABCD；
（2）設(shè)$\frac{PA}{AB}$=λ，當(dāng)λ為何值時(shí)直線PA與平面PBC所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$？

Answer 1

分析 （1）由CD⊥AD，CD⊥PA得出CD⊥平面PAD，故而平面PAD⊥平面ABCD；
（2）取AD的中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)E，連接PO，OE．設(shè)OP=h，AB=1，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系求出$\overrightarrow{PA}$和平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$，令|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2}{3}$解出h，即可得出λ=$\frac{PA}{AB}$的值．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，又CD⊥PA，PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
又CD?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
（2）取AD的中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)E，連接PO，OE．則OE⊥AD．
∵PA=AD，∴PO⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD
∴PO⊥平面ABCD．
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，DE，OP為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
設(shè)PO=h，AB=1．則A（$\frac{1}{2}$，0，0），P（0，0，h），B（$\frac{1}{2}$，1，0），C（-$\frac{1}{2}$，1，0）．
∴$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{1}{2}$，0，-h），$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{1}{2}$，-1，h）．
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x=0}\\{-\frac{1}{2}x-y+hz=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（0，h，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-h}{\sqrt{{h}^{2}+\frac{1}{4}}\sqrt{{h}^{2}+1}}$．
∵直線PA與平面PBC所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{h}{\sqrt{{h}^{2}+1}\sqrt{{h}^{2}+\frac{1}{4}}}$=$\frac{2}{3}$，解得$h=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴PA=$\sqrt{{h}^{2}+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴λ=$\frac{PA}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了面面垂直的判定，空間向量與線面角的計(jì)算，屬于中檔題．