Question

4．已知a，b，c為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，向量$\vec m$=（-1，$\sqrt{3}}$），$\vec n$=（cosA，sinA）．若$\vec m$⊥$\vec n$，且acosB+bcosA=csinC，則角A，B的大小分別為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$
• D． $\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積判斷向量的垂直的方法，可得-cosA+$\sqrt{3}$sinA=0，分析可得A，再根據(jù)正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sin²C，有和差公式化簡可得sinC=sin²C，可得C，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得B，進而可得答案．

解答 解：∵根據(jù)題意，$\vec m$⊥$\vec n$，可得$\vec m$•$\vec n$=0，
即-cosA+$\sqrt{3}$sinA=0，可得：2sin（A-$\frac{π}{6}$）=0，
∵A∈（0，π），A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴解得：A=$\frac{π}{6}$，
又∵acosB+bcosA=csinC，
∴由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sin²C，
∴sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC=sin²C，
∵sinC≠0，可得：sinC=1，又C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，向量數(shù)量積的應(yīng)用，判斷向量的垂直，解題時要注意向量的正確表示方法，屬于中檔題．