Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx+cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\overrightarrow$=（cosωx-sinωx，2sinωx）（ω＞0），若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的相鄰兩對稱軸間的距離等于$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，且f（A）=1，$a=\sqrt{3}$，b+c=3．求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面向量數(shù)量積的運算和三角函數(shù)恒等變換的應用可得函數(shù)解析式為f（x）=$2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，由已知利用周期公式即可求ω的值．
（Ⅱ）由f（A）=1可求$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，結合范圍$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13}{6}π$，即可解得A的值，由余弦定理可得b²+c²-bc=3，又b+c=3，聯(lián)立解得：b，c的值，利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）f（x）=a•b=${cos^2}ωx-{sin^2}ωx+2\sqrt{3}cosωx•sinωx$=$cos2ωx+\sqrt{3}sin2ωx$=$2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，…（4分）
∵ω＞0，
∴$函數(shù)f（x）的周期T=\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{ω}=π$，
∴ω=1…（5分）
（Ⅱ）∵$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
又∵f（A）=1，
∴$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，而$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13}{6}π$，
∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{5}{6}π$，
∴$A=\frac{π}{3}$，…（8分）
由余弦定理知$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$，
∴b²+c²-bc=3，又b+c=3，聯(lián)立解得：$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=1\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}b=1\\ c=2\end{array}\right.$，…（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（12分）

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算和三角函數(shù)恒等變換的應用，周期公式，余弦定理，三角形面積公式以及正弦函數(shù)的圖象和性質在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想，屬于中檔題．