【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率等于.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，求證為定值．

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】

(1)分析題意可得b＝1，再根據(jù)離心率的表達(dá)式和a,b,c之間的系數(shù)關(guān)系可求得標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)將直線與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，再結(jié)合題意即可

(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為為，

由題b＝1，.即,

∴橢圓C的方程為.

(2)方法一：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)．易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)．，

∴(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)，，

將A點(diǎn)坐代入到橢圓方程中，得，

去分母整理得.同理，由，

可得，∴λ1，λ2是方程的兩個(gè)根，∴λ1＋λ2＝－10.故λ1＋λ2為定值．

方法二:設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)．又易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)．顯然直線存在斜率，設(shè)直線的斜率為k，則直線的方程是y＝k(x－2)．將直線的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0. .

又,將各點(diǎn)坐標(biāo)代入得

,

,

故λ1＋λ2為定值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列命題中正確的是（ ）

A.函數(shù)在區(qū)間上有且只有個(gè)零點(diǎn)

B.若函數(shù)，則

C.如果函數(shù)在上單調(diào)遞增，那么它在上單調(diào)遞減

D.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，，，如圖.

（1）若交平面于點(diǎn)，證明：、、三點(diǎn)共線；

（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面，若存在確定的位置，若不存在說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知在等比數(shù)列{an}中，＝2，，＝128，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝2，且{}為等差數(shù)列．

（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如下圖是2017年第一季度五省GDP情況圖,則下列陳述中不正確的是（ ）

A. 2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.

B. 與去年同期相比，2017年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng).

C. 去年同期河南省的GDP總量不超過(guò)4000億元 .

D. 2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知常數(shù)且，在數(shù)列中，首項(xiàng)，是其前項(xiàng)和，且，.

（1）設(shè)，，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，，證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；

（3）若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列取到最小值，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質(zhì)地完成相同），旁邊立著一塊小黑板寫道：

摸球方法：從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)球，若摸得同一顏色的3個(gè)球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個(gè)球，摸球者付給攤主1元錢．

（1）摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌伲?

（2）摸出的3個(gè)球?yàn)?/span>2個(gè)黃球1個(gè)白球的概率是多少？

（3）假定一天中有100人次摸獎(jiǎng)，試從概率的角度估算一下這個(gè)攤主一個(gè)月（按30天計(jì)）能賺多少錢？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知,,點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為.

（1）求軌跡的方程；

（2）若直線過(guò)點(diǎn)且與軌跡交于、兩點(diǎn).

（i）無(wú)論直線繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，在軸上總存在定點(diǎn)，使恒成立，求實(shí)數(shù)的值.

（ii）在（i）的條件下，求面積的最小值.

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