Question

【題目】已知,,點滿足，記點的軌跡為.

（1）求軌跡的方程；

（2）若直線過點且與軌跡交于、兩點.

（i）無論直線繞點怎樣轉動，在軸上總存在定點，使恒成立，求實數的值.

（ii）在（i）的條件下，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）（ii）9

【解析】

（1）利用雙曲線的定義及其標準方程即可得出；（2）當直線l的斜率存在時，設直線方程為y=k（x-2），P，Q，與雙曲線方程聯(lián)立消y得，利用根與系數的關系、判別式解出即可得出．（i）利用向量垂直與數量積的關系、根與系數的關系即可得出；（ii）利用點到直線的距離公式、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式即可得出

（1）由知，點P的軌跡E是以F1、F2為焦點的雙曲線右支，由，故軌跡E的方程為

（2）當直線l的斜率存在時，設直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消y得，

解得k2 >3

（i）

，

故得對任意的恒成立，

∴當m =－1時，MP⊥MQ.

當直線l的斜率不存在時，由知結論也成立，

綜上，當m =－1時，MP⊥MQ.

（ii）由（i）知，，當直線l的斜率存在時，

， M點到直線PQ的距離為，則

∴

令，則，因為

所以

當直線l的斜率不存在時，

綜上可知，故的最小值為9.