Question

18．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)k＞0，使|f（x）|≤$\frac{k}{2016}$|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱f（x）為“期盼函數(shù)”．給出下列函數(shù)：
①f（x）=x³；②f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx；③f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；④f（x）=$\frac{x}{{2}^{x}+1}$
其中f（x）是“期盼函數(shù)”的有（　�。﹤�(gè)．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)新定義，對(duì)每個(gè)函數(shù)一一驗(yàn)證，即可得出結(jié)論．

解答 解：①f（x）=x³，|f（x）|=|x³|≤$\frac{k}{2016}$|x|，即|x²|≤$\frac{k}{2016}$，不存在這樣的k對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，
②f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$），|f（x）|=|2sin（x+$\frac{π}{6}$）|≤$\frac{k}{2016}$|x|，
x=0時(shí)，|f（x）|=1≤0，不成立；
③f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$，則|f（x）|=|$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$|=$\frac{|x|}{{（x+\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}}$≤$\frac{4}{3}$|x|，
故對(duì)任意的$\frac{k}{2016}$＞$\frac{4}{3}$，都有|f（x）|＜$\frac{k}{2016}$|x|，故③正確；
④f（x）=$\frac{x}{{2}^{x}+1}$，|f（x）|=$\frac{|x|}{{2}^{x}+1}$≤$\frac{k}{2016}$|x|，故④正確；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查學(xué)生的閱讀理解能力．知識(shí)點(diǎn)方面主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，綜合性較強(qiáng)．