Question

13．設F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，點M（3，$\sqrt{2}$）在此雙曲線上，點F₂到直線MF₁的距離為$\frac{4\sqrt{6}}{9}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 將M的坐標代入雙曲線的方程，求得直線MF₁：y=$\frac{\sqrt{2}}{c+3}$（x+c），運用點到直線的距離公式計算可得c=2，由離心率公式，計算即可得到所求．

解答 解：將M的坐標代入雙曲線的方程可得，
$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{^{2}}$=1，①
由題意可得F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
直線MF₁：y=$\frac{\sqrt{2}}{c+3}$（x+c），即為$\sqrt{2}$x-（c+3）y+$\sqrt{2}$c=0，
即有$\frac{|2\sqrt{2}c|}{\sqrt{2+（c+3）^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{9}$，解得c=2，
即a²+b²=4，②
由①②可得a=$\sqrt{3}$，b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用點滿足雙曲線的方程和點到直線的距離公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．